第四章 差异量数
如何用少量数字来概括数据？
数据的‘位置’
均值,中位数,k百分位数,众数。
数据的“尺度”
论语有一句话：“不患寡而患不均”，这是指不怕财富少，而怕分配不公平而造成贫富差距太大。
贫富、多寡是由位置统计量来描述的，而是否“均”是由尺度统计量（scale statistic）来描述的。尺度统计量是描述数据散布，即描述集中与分散程度或变化（spread或variablity）的度量，因此，有人不无道理地建议用“散度统计量”这个名词。统计中有许多尺度统计量。
一般来说，数据越分散，尺度统计量的值越大。
为了说明，回顾第二章图2：中国、日本和美国的年龄的盒形图，可用看出来，从中位数来说，日本年龄较大，美国次之，中国最小，分布为69，66和49，而均值分布为69.1，65.5和52，但是这三个数据散布范围和模式很不一样。
最简单的尺度统计量就是极差（range），顾名思义，极差就是极大值和极小值之间的差。第二章例1数据的中日美三国富豪年龄的极差分布为41，52，和69岁，对应的图2种每个盒形图盒子的长度为上下两个四分位数之差，称为四分位极差或四分位间距（interquantile range），它描述了中间半数观测值的散步情况。
极差和四分位极差实际上各自只依赖于两个值，信息量太少。第二章例1数据的中日美三国富豪年龄的四分位极差分别为11.5，16.5和19.
另一个常用的尺度统计量为（样本）标准差（standard deviation）。它度量样本中各个数值到均值的距离的一种平均。标准差实际上是方差（variance）的平方根。样本方差是由各个观测值的均值距离的平方和除以减去1的样本量。
如果记样本中的观测值为x1,…,xn,则样本方差为
$$
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})
$$
而样本标准差为样本方差的平方根，即s。
标准差由于和原始数据量纲一样，因此在数据分析中比方差用得更普遍。
显然，如果标准差越大，数据中的观测值就越分散，而小的标准差意味着数据很集中。
关于中日美三国富豪的标准差分别是8.4，15.1和13。
即使出于同一个总体，样本量相同的不同样本也会有不同的均值，这种来自许多不同样本的均值的标准差称为标准误差（standard error），也叫做均值的标准误差（standard error of mean）。
数据的标准得分
例3 （数据：grade.txt）该数据给出两个班（1班和2班）的同一门课程的成绩。假定两个班级水平类似，但是由于两个任课老师的评分标准不同，使得两个班成绩的均值和标准差都不一样。1班分数的均值和标准差分布为78.53和9.43，而二班的均值和标准差分别为70.19和7.00.那么得到90分的1班的A同学是不是比得到82分的2班的B同学成绩更好呢？怎么比较才能合理呢？
虽然这种均值和标准差不同的数据不能够直接比较，但是可以把它们进行标准化，然后再比较标准化后的数据。
一个标准化的方法是把某样本原始观测值（亦称得分，score）和该样本均值之差除以该样本的标准差，得到的度量称为标准得分（standard score，又称为z-score）. 即，某观测值$x_i$的标准得分$z_i$定义为
$$
z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}
$$
把各个样本的观测值都换成相应的标准得分，就可以进行比较了。
在本例中，
A的标准分为(90-78.53)/9.43=1.22
B的标准分为(82-70.19)/7=1.69
显然，如果两个班级水平差不多，B的成绩应该优于A的成绩，这是在标准化之前的数据中不容易看到的。
下图展示了着两个班级的原始成绩的盒形图（左边）和标准化之后成绩的标准得分的盒形图（右边）。可以看出，原始数据是在各自的中心值附近，而散布也不一样。但它们的标准得分则在0周围散布，而且散步也差不多。
实际上，任何样本经过这样的标准化后，就都变成均值为0、方差为1的样本。
标准化后不同样本观测值的比较只有相对意义，没有绝对意义。
绘图的R代码为
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标准化后的数据虽然总的尺度和位置都变了，但是数据内部点的相对位置没有变化。
计算标准得分仅仅是许多标准化方法中最常见的一种。
极差，四分位极差，标准差，方差，标准得分的R代码如下：
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